„Dieser Satz ist falsch.“ Wer das liest, kommt schnell gedanklich ins Stolpern. Stimmt dieser Satz? Oder stimmt er nicht? Ist er also wahr oder falsch? Wenn wir davon ausgehen, dass der Satz wahr ist, dann stimmt das, was er aussagt – womit er eigentlich falsch wäre. Und wenn wir davon ausgehen, dass er falsch ist, dann stimmt das, was er aussagt, nicht – so dass er wahr wäre.

Solche Paradoxien rufen Staunen und Faszination, aber auch Verwirrung oder gar Frustration hervor. Aber nicht nur das: Paradoxien weisen bis heute auf Grundprobleme der Philosophie, der Mathematik sowie der Naturwissenschaften hin und erzwingen von uns revolutionäre Lösungsvorschläge. Einige Paradoxien markieren vielleicht sogar unüberwindbare Grenzen unserer Erkenntnismöglichkeiten. Ob aber Grenzdenken oder Denkgrenze – in jedem Fall fordern Paradoxien unsere gewohnten Denkmuster und Grundannahmen heraus. Damit bieten sie Anlass, über das bisher Gedachte hinauszugehen, und haben deshalb eine wesentliche Rolle im Fortschritt der Einzelwissenschaften und der Philosophie gespielt.

Von dem Physiker Niels Bohr stammt der Ausspruch: „Wie wunderbar, dass wir auf ein Paradox gestoßen sind. Jetzt gibt es Hoffnung, einen Fortschritt zu erzielen“ (Moore 1967, 140; unsere Übers.). Schafft man es, eine Paradoxie aufzulösen, dann hat man in jedem Fall einen Schritt nach vorne gemacht. Aber selbst ein misslungener Versuch kann einen Fortschritt darstellen. Im Scheitern kann beispielsweise der eigentliche Kern einer Paradoxie klarer zutage treten; oder es können Mittel entwickelt worden sein, die an anderen Stellen helfen; oder es kann eine klare Denkgrenze aufgezeigt worden sein, die man nun mit einem Stoppschild versehen kann …

Paradoxien begleiten uns seit den Anfängen unserer dokumentierten Denkgeschichte. Schon bei Zenon von Elea finden wir beispielsweise das bekannte Paradox von Achilles und der Schildkröte oder das Paradox vom fliegenden, aber sich nicht bewegenden Pfeil. Epimenides wiederum wird eine frühe Form des Lügnerparadoxes zugeschrieben, welches dieses Vorwort eröffnet hat. Paradoxien sind aber bei Weitem nicht nur auf die Antike beschränkt, sondern wirken bis in unsere heutige Zeit. Dabei begegnen uns auch fortlaufend neue Paradoxien. Zu den vergleichsweise jungen Paradoxien zählt etwa Carl Gustav Hempels Rabenparadox.

Auch das Titelbild dieses Bandes hat etwas Paradoxes: Die dargestellte Treppe ist eigentlich unmöglich, denn die drei Personen kommen in einer Kreisbewegung immer wieder zum Ausgangspunkt zurück und bewegen sich anscheinend trotzdem stetig nach unten. Die Idee dieser unmöglichen Treppe geht zurück auf das „Tribar“, ein paradoxes Dreieck, das der schwedische Künstler Oscar Reutersvärd sowie später unabhängig davon der Physiker Roger Penrose und sein Vater Lionel entwickelt haben.

Aber wann ist etwas eigentlich paradox? Laut der klassischen Definition ist ein Paradox ein Argument, in dem aus Prämissen, die auf den ersten Blick wahr erscheinen, in anscheinend gültigen Schritten eine Konklusion hergeleitet wird, die dann falsch erscheint. Dies ist insofern paradox, als die Gültigkeit, um die es hier geht, so zu verstehen ist, dass aus Wahrem nichts Falsches folgen kann: Wenn (a) die Prämissen alle zusammen wahr sind und (b) die Folgerungsschritte gültig sind, dann ist es nicht möglich, dass (c) die Konklusion falsch ist. Zur Auflösung so eines Paradoxes muss also (a), (b) oder auch (c) in Zweifel gezogen werden: Man kann zu zeigen versuchen, dass mindestens eine der Prämissen entgegen dem ersten Anschein nicht wahr ist; man kann die vermeintliche Gültigkeit eines Folgerungsschrittes angreifen; oder man argumentiert dafür, dass die Konklusion wahr ist, obwohl sie unplausibel erschien.

In den folgenden Beiträgen werden größtenteils Paradoxien dieser Art verhandelt. Es kommen jedoch auch Paradoxien der Wahrnehmung hinzu, die sich schwerlich in das klassische Muster einpassen lassen. In den letzten beiden Beiträgen werden zudem zwei allgemeinere Reaktionsmöglichkeiten thematisiert: der therapeutische Ansatz, der uns vor Verirrungen der Sprache bewahren will, und der dialetheistische Ansatz, der bestimmte Widersprüche als wahr akzeptiert.

Den Anstoß zu diesem Band gab eine Ringvorlesung an der Universität Oldenburg, die auf großes Interesse gestoßen ist und von ebenso anregenden Vorträgen wie Diskussionen gekennzeichnet war. Die Beiträge wurden aus einer analytisch-philosophischen Perspektive geschrieben und richten sich an interessierte Einsteiger, die sich einerseits nicht zu viele technische Details und andererseits keine allzu starken Verkürzungen wünschen. Mit anderen Worten sollen die Texte zugleich zugänglich sein und die Paradoxien doch in gebührendem Umfang präsentieren.

Den Anfang macht das Lügnerparadox, mit dem schon dieses Vorwort eröffnet wurde und das exemplarisch für Paradoxien der Wahrheit steht (Kapitel 1). Elke Brendel zeichnet die Ursprünge der Lügnerparadoxie nach und stellt verschiedene Varianten derselben vor. So muss sich ein Satz nicht auf sich selbst beziehen („Dieser Satz ist falsch“), um in einen Widerspruch zu führen. Ein „Lügnerzirkel“, wie ihn die folgenden beiden Sätze bilden, ist ebenfalls problematisch: (a) „Der nächste Satz ist falsch.“ (b) „Der vorhergehende Satz ist wahr.“ Brendel rekonstruiert die Paradoxie in der klassischen formalen Logik und stellt als Lösungsstrategien Tarskis Konzeption der Sprachstufenhierarchie sowie paravollständige Logiken und Wahrheitswertlücken vor. Außerdem räumt sie einer weniger populären Lösungsstrategie Raum ein. Die Idee hier ist, Wahrheit als Operator („Es ist wahr, dass …“) statt als Prädikat („… ist wahr“) zu verstehen.

Einen Einblick in Paradoxien des Unendlichen liefert Guido Kreis mit einer Untersuchung von mengentheoretischen Paradoxien (Kapitel 2). Er stellt zunächst die mengentheoretischen Grundlagen vor, ehe er in Cantors Paradox einsteigt: Die Menge aller Mengen müsste ihrer Definition nach alle Mengen enthalten und damit auch ihre Potenzmenge, also die Menge ihrer Teilmengen. Das aber geht nicht, da eine Potenzmenge immer größer als die ursprüngliche Menge ist. Ähnliche Probleme ergeben sich für die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten (Russells Paradox), und die Menge aller Ordinalzahlen (Burali-Fortis Paradox). Anschließend präsentiert Kreis die mathematische Auflösung dieser Paradoxien und weist auf damit verbundene ungelöste Probleme hin. Zum Abschluss macht er deutlich, dass diese Art von Paradoxie nicht auf die Mathematik beschränkt ist, da sie beispielsweise auch die Idee der Welt als Menge aller Gegenstände betrifft. Auch für diese Dimension der Paradoxie stellt Kreis Lösungsversuche vor.

Eine klassische Paradoxie der Stützung (oder Bestätigung) ist Hempels Rabenparadox (Kapitel 3). Dieses Paradox geht unter anderem von der Prämisse aus, dass eine allgemeine Hypothese wie „Alle Raben sind schwarz“ durch ihre Instanzen gestützt wird, in diesem Fall also durch Raben, die schwarz sind. Daraus – und aus weiteren Annahmen – wird die auf den ersten Blick absurde Konklusion hergeleitet, dass die Rabenhypothese ebenso durch jeden nicht-schwarzen Nicht-Raben gestützt wird, also etwa durch einen weißen Schuh. Mark Siebel konzentriert sich auf zwei Lösungsvorschläge, die mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Mitteln arbeiten. Der eine dieser Vorschläge weist darauf hin, dass die eben genannte Prämisse falsch ist, führt aber in ein Nachfolgeproblem. Der andere Vorschlag läuft darauf hinaus, dass die Konklusion trotz ihrer anfänglichen Unplausibilität akzeptabel ist: Weiße Schuhe stützen die Rabenhypothese, aber nur in einem unbedeutenden Ausmaß.

Das wahrscheinlich bekannteste Paradox der Vagheit dürfte das Soritesparadox sein (Kapitel 4). Inga Bones widmet sich zunächst dem Begriff der Vagheit, ehe sie dieses Paradox vorstellt: Der Begriff des Haufens ist insofern vage, als es keine eindeutige Zahl an Sandkörnern gibt, ab der eine Körneransammlung als ein Haufen gilt. Ein Korn mehr macht also keinen Unterschied. Wenn wir zu dieser Annahme jedoch die immens plausible Prämisse hinzunehmen, dass ein einzelnes Sandkorn noch kein Haufen ist, dann landen wir bei der Konklusion, dass auch Millionen von Sandkörnern kein Haufen sind. Bones diskutiert vier verschiedene Reaktionen auf das Paradox. Dies sind (a) dreiwertige Ansätze, in denen zu „wahr“ und „falsch“ der Wahrheitswert „unbestimmt“ hinzukommt, (b) Gradtheorien mit unendlich vielen Wahrheitswerten, (c) der Supervaluationismus mit seinen Wahrheitswertlücken und (d) der Epistemizismus, der behauptet, dass es faktisch eine scharfe Grenze gibt, die wir nur leider übersehen.

Ein klassisches Paradox der Quantenmechanik ist das EPR-Paradox, benannt nach Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (Kapitel 5). Paul Näger führt zuerst allgemein in Quantenparadoxien ein und illustriert dann das EPR-Paradox anhand der Polarisation von „verschränkten“ Photonen: Die Quantenmechanik wird einerseits als vollständige Theorie dieses Phänomens angesehen, also als eine Theorie, die alle Eigenschaften angibt, die die zugehörigen physikalischen Objekte haben. Andererseits scheint jedoch aus den quantenmechanischen Formeln und weithin akzeptierten physikalischen Prinzipien zu folgen, dass die Quantenmechanik unvollständig ist. Zu diesen Prinzipien gehört die relativitätstheoretische Annahme, dass sich physikalische Prozesse höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Abschließend werden die Nachgeschichte, ein Lösungsversuch und der bleibende Wert des EPR-Paradoxes beschrieben.

Auch in den Paradoxien der Zeit begegnet uns Einstein wieder. In Manfred Stöcklers Beitrag steht nämlich das relativitätstheoretische Zwillingsparadox im Zentrum (Kapitel 6). Stöckler präsentiert zu Beginn die notwendigen theoretischen Grundannahmen der Relativitätstheorie und zeichnet dann das Paradox nach. Stellen wir uns Zwillinge vor, von denen der eine sich in einem Raumschiff mit großer Geschwindigkeit von der Erde entfernt, während der andere dort verbleibt. Wenn der Raumfahrer nach einiger Zeit zurückkehrt, wird er entsprechend den relativitätstheoretischen Gesetzen sehr viel stärker gealtert sein als sein Zwillingsbruder. Tatsächlich konnten solche Zeitunterschiede, wenn auch in kleinerem Ausmaß, schon in Experimenten nachgewiesen werden. Stöckler geht anschließend auf die Rezeptionsgeschichte und die Funktion der Paradoxie in der physikalischen Debatte ein, um zum Ende einen Ausblick auf ein anderes Zeitparadox, das Großvaterparadox, zu geben.

Von der Physik geht es schließlich zu Paradoxien der Wahrnehmung. Lukas Wilde widmet sich Paradoxien der Bildlichkeit, zu denen auch das Titelbild dieses Bandes gehört (Kapitel 7). Dabei stellt er zunächst die Frage, inwieweit Bilder sich überhaupt mit der klassischen Definition von Paradoxien in Einklang bringen lassen. Nach dieser Definition sind Paradoxien eine spezielle Sorte von Argumenten und bestehen somit aus Aussagen, in die Bilder oder ihre Elemente erst einmal übersetzt werden müssten. Anschließend analysiert Wilde verschiedene Formen von Bildparadoxien. Zu ihnen gehören (a) illusionistische Bilder wie die Trompe-l’œil-Malerei, (b) Vexierbilder wie der Hase-Enten-Kopf, (c) Bilder unmöglicher Figuren wie der schon erwähnte Tribar von Reutersvärd und Penrose sowie (d) diagrammatische Bildszenen wie Eschers Wasserfall, der sich wie ein Perpetuum mobile selbst mit Wasser zu versorgen scheint.

Catherine Herbin und Norman Sieroka wenden sich Paradoxien des Auditiven zu (Kapitel 8). Auch hier wird zunächst in Frage gestellt, ob sich mit dem klassischen Sinn des Ausdrucks „Paradoxie“ Hörparadoxien erfassen lassen. Hörparadoxien sind laut Herbin und Sieroka anders zu analysieren: Sie beinhalten zum einen Widersprüchlichkeiten der Hörwahrnehmung, die durch die Beseitigung von Mehrdeutigkeiten aufgelöst werden können, und zum anderen Diskrepanzen zwischen der alltagstheoretischen Erwartung und der Wahrnehmung, die sich erklären lassen, wenn man wissenschaftliche Erkenntnisse einfließen lässt. Zu der Vielfalt an Paradoxien, die anschließend vorgestellt werden, gehören das Hören von Tönen, die es gar nicht gibt, das Nichthören von Toneigenschaften, die es eigentlich gibt, und der unterschiedliche Klang derselben Melodie in verschiedenen Kontexten.

Abschließend wird in zwei Beiträgen aus einer allgemeineren Perspektive betrachtet, welche Auswege es aus Paradoxien gibt. Den Anfang macht Joachim Bromand mit Wittgensteins Idee einer therapeutischen Auflösung (Kapitel 9). Eine solche Auflösung will Paradoxien als unsinnig erweisen, weil sie auf Sprachverwirrungen beruhen. Genauer gesagt soll gezeigt werden, dass Sprachregeln, deren Anwendung unter normalen Bedingungen unproblematisch ist, auf Bereiche übertragen werden, für die sie nicht gemacht sind. Dabei wird zum einen das „skeptische Paradox“ behandelt, das darauf hinausläuft, dass wir so gut wie gar nichts wissen, weil wir skeptische Alternativen wie die, ein Gehirn im Tank zu sein, nicht rational begründet ausschließen können. Zum anderen widmet sich Bromand der Lügnerparadoxie, die auch bei Wittgenstein selbst im Blickpunkt steht.

Die dialetheistische Auflösung von Paradoxien, die Graham Priest vorschlägt, ist überaus radikal (Kapitel 10). Eine Dialetheia, eine „Zweimal-Wahrheit“, ist ein wahrer Widerspruch, also eine Aussage „P und nicht-P“, in der sowohl die Teilaussage „P“ als auch die Teilaussage „nicht-P“ wahr ist. Die dialetheistische Auflösung der Lügnerparadoxie besteht entsprechend darin, dass man die Konklusion, nämlich „Der Lügnersatz ist wahr und falsch“, als wahr akzeptiert, obwohl sie widersprüchlich ist. Radikal ist dieser Ansatz, da man sich mit wahren Widersprüchen von einem Prinzip verabschiedet, das fest in unserem Denken verankert ist: dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch. Dies ist für Priest in der Gesamtabwägung annehmbar, weil wir uns mit den vermeintlichen Lösungen von Paradoxien letztlich in noch größere Probleme verstricken. Priest behandelt neben der Lügnerparadoxie viele weitere Beispiele, zu denen Paradoxien der Unendlichkeit und Vagheit sowie mengentheoretische Paradoxien gehören.

Mit diesen zehn Beiträgen hoffen wir, die wichtigsten Paradoxien und Lösungsversuche abgedeckt zu haben. Naturgemäß ließen sich nicht alle Paradoxien aufnehmen, und so fehlt beispielsweise das Curry-Paradox, das der amerikanische Logiker und Mathematiker Haskell Curry 1942 aufgestellt hat. Wir möchten dieses Paradox zum Abschluss jedoch nutzen, um zu beweisen, dass unser Sammelband in keinem Bücherregal fehlen darf. Nehmen wir dafür den folgenden Satz, der sich wie im Lügnerparadox auf sich selbst bezieht:

(S) Wenn der Satz (S) wahr ist, dann darf unser Sammelband in keinem Bücherregal fehlen.

Es handelt sich um ein Konditional, wobei der Satz nach dem „wenn“ als Vordersatz und der Satz nach dem „dann“ als Nachsatz bezeichnet wird. Wir wollen dieses Konditional im Sinne der klassischen Logik verstanden wissen: Es ist nur dann falsch, wenn der Vordersatz wahr und der Nachsatz falsch ist. Dann können wir im ersten Schritt beweisen, dass der Satz (S) wahr ist. Denn wenn er falsch wäre, würde ja gelten, dass der Vordersatz wahr und der Nachsatz falsch ist. Da der Vordersatz besagt, dass (S) wahr ist, würde entsprechend gelten, dass (S) wahr ist. Damit müsste dieser Satz auch dann wahr sein, wenn er falsch ist. Da er trivialerweise wahr ist, wenn er wahr ist, dürfen wir annehmen, dass er in jedem Fall wahr ist. Wir können also konstatieren:

(P1) Der Satz (S) ist wahr.

Wenn wir uns nun noch einmal ansehen, was der Satz (S) besagt, haben wir damit auch Folgendes bewiesen:

(P2) Wenn der Satz (S) wahr ist, dann darf unser Sammelband in keinem Bücherregal fehlen.

Hiermit haben wir alles zusammen, um einen allgemein anerkannten Schluss zu vollziehen, den sogenannten Modus ponendo ponens. Dieser Schluss besteht darin, dass von einem Konditional und seinem Vordersatz auf den Nachsatz geschlossen wird. Ein einfaches Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Straße nass; es regnet; also wird die Straße nass. In unserem speziellen Fall dürfen wir von dem Konditional (P2) und seinem Vordersatz (P1) auf folgende Behauptung schließen:

(K) Unser Sammelband darf in keinem Bücherregal fehlen.

Da wir zuvor gezeigt haben, dass die beiden Prämissen für diesen Schluss, (P1) und (P2), zutreffen, haben wir schlussendlich bewiesen, dass unser Sammelband in keinem Bücherregal fehlen darf.